Охранник

Описание

ÔÃÁÎÓ ÂÎ ¾ÂÃÓ¿, ôàêóëüòåò ÏÌÌ, 1 êóðñ, 3, 5 ãðóïïû, àëãåáðà, 2018-2019 ó÷åáíûé ãîä 1
Ë
ÈÑÒÎÊ 1ÎÒ11 ÑÅÍÒßÁÐß 2017Ã.
Ñèòóàöèþ, êîòîðàÿ âîçíèêëà çàòåì, ñîöèîëîãè îïèñàëè áû â òåðìèíàõ
êóëüòóðíîé îòñòàëîñòè . Íåñìîòðÿ íà íàëè÷èå íåïðîòèâîðå÷èâîé òåîðèè
ìíîæåñòâ, ìàòåìàòèêè ïðîäîëæàëè áåñïîêîèòüñÿ î íåïðîòèâîðå÷èâîñòè.
Íåêîòîðûå ñîìíåâàëèñü äàæå â íåïðîòèâîðå÷èâîñòè ñàìîé àðèôìåòèêè.
Ñèòóàöèþ åùå áîëåå óõóäøàëè ãðîòåñêíûå ïîïûòêè Ë. Ý. ß. Áðàóýðà ïðå-
âðàòèòü ìàòåìàòèêó â ðåëèãèþ.
Ê. ÑÌÎÐÈÍÑÊÈÉ .Òåîðåìû î íåïîëíîòå .
Âî-ïåðâûõ, ÿ ñ÷èòàþ, ÷òî á
îëüøàÿ ÷àñòü ìàòåìàòè÷åñêîé ëîãèêè àáñîëþòíî
èððåëåâàíòíà ïðè èçó÷åíèè ìàòåìàòèêè. Âîïðîñû, êîòîðûå èíòåðåñóþò íàñ
â ýòîé êíèãå, ýòî êîíêðåòíûåâîïðîñû, â îòâåòå íà êîòîðûå èñïîëüçóåìûå
ïðàâèëà âûâîäà íå ìîãóò èãðàòü âîîáùå íèêàêîé ðîëè, à èñïîëüçóåìûå àê-
ñèîìû òåîðèè ìíîæåñòâ ïî÷òè íèêàêîé. Íèêàêàÿ íèêàêàÿ! ðåâèçèÿ
¾îñíîâàíèé¿, ïðàâèë âûâîäà è òóìàííûõ àêñèîì ëîãèêè è òåîðèè ìíîæåñòâ
íå â ñîñòîÿíèè îòìåíèòü ñèÿþùèå ôàêòû, òàêèå êàê, ñêàæåì, òî, ÷òî ñó-
ùåñòâóåò ðîâíî 17 ãðóïï ñèììåòðèè ïëîñêîñòè èëè ðîâíî 6 ïðàâèëüíûõ
ìíîãîãðàííèêîâ â ÷åòûðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. À èìåííî ôàêòû òàêîãî
ðîäà, èõ îáúÿñíåíèÿ, èñòîëêîâàíèÿ, ñëåäñòâèÿ è âçàèìîñâÿçè ñîñòàâëÿþò
îñíîâíîå ñîäåðæàíèå ìàòåìàòèêè.
Í. À. ÂÀÂÈËÎÂ.Íå ñîâñåì íàèâíàÿ òåîðèÿ ìíîæåñòâ .
Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè ìíîæåñòâ. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè. Îñíîâíûå çàäàíèÿ1
1 [1 2
]. Ñòàðåéøèé ìàòåìàòèê ñðåäè øàõìàòèñòîâ è ñòàðåéøèé øàõìàòèñò ñðåäè ìàòåìàòèêîâ ýòî
îäèí èëè òîò æå ÷åëîâåê èëè (âîçìîæíî) ðàçíûå?
2 [1]. Ëó÷øèé ìàòåìàòèê ñðåäè øàõìàòèñòîâ è ëó÷øèé øàõìàòèñò ñðåäè ìàòåìàòèêîâ ýòî îäèí
èëè òîò æå ÷åëîâåê èëè (âîçìîæíî) ðàçíûå?
3 [1]. Äîêàçàòü, ÷òî èìåþò ìåñòî òîæäåñòâà
a) A[(B \C) = ( A[B)\ (A [C) äèñòðèáóòèâíîñòü îáúåäèíåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïåðåñå÷åíèÿ ;
b) A\(B [C) = ( A\B)[ (A \C) äèñòðèáóòèâíîñòü ïåðåñå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíî îáúåäèíåíèÿ .
4 [1]. Äîêàçàòü, ÷òî A
[B = A
\ B
è A
\B = A
[ B
(çàêîíû äå Ìîðãàíà ).
5 [1]. Äîêàçàòü, ÷òî ìíîæåñòâî Aòîãäà è òîëüêî òîãäà ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì ìíîæåñòâà B, êîãäà
êàæäûé ýëåìåíò, íå ïðèíàäëåæàùèé B, íå ïðèíàäëåæèò A.
6 [1]. Ïóñòü A ìíîæåñòâî ÷¼òíûõ ÷èñåë, à B ìíîæåñòâî ÷èñåë, äåëÿùèõñÿ íà 3. Íàéòè A\B.
7 [1]. Êàæäûé ñåäüìîé ìàòåìàòèê øàõìàòèñò, à êàæäûé òðåòèé øàõìàòèñò ìàòåìàòèê. Êîãî
áîëüøå ìàòåìàòèêîâ èëè øàõìàòèñòîâ è âî ñêîëüêî ðàç? Òîæäåñòâà, ïîäîáíûå ïðèâåä¼ííûì âûøå, óäîáíî èëëþñòðèðîâàòü ïðè ïîìîùè òàê íàçûâàåìûõ
äèàãðàìì
ÝéëåðàÂåííà .  ñëó÷àånìíîæåñòâ óäîáíî èñïîëüçîâàòü n(êàê ïðàâèëî) âûïóêëûõ ôèãóð, ãðàíèöû êîòî-
ðûõ ðàçáèâàþò ïëîñêîñòü íà 2n
÷àñòåé. Ñóùåñòâóþò ðàçëè÷íûå ñïîñîáû îïèñàíèÿ ïîëó÷èâøåéñÿ äèàãðàììû.
8 [1]. Äîêàçàòü òîæäåñòâà:
a) (A \B)[ (C \D) = ( A[C)\ (A [D)\ (B [C)\ (B [D);
b) Ar (B [C) = ( Ar B)\ (A r C);
c) A\(B rC) = ( A\B)r (A \C) = ( A\B)r C;
d) (A \B)[
A \ B
) = ( A[B)\
A [ B

= A.
9 [1]. Äîêàçàòü, ÷òî
a) A[B C òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A C èB C; 1
Çàäàíèÿ äàííîãî ðàçäåëà ñëóæàò äëÿ ïðîâåðêè íåêîòîðûõ áàçîâûõ çíàíèé ïî òåìàì, óêàçàííûì â çàãîëîâêå, è íå äîëæ-
íû âûçûâàòü ñêîëü-ëèáî ñóùåñòâåííûõ çàòðóäíåíèé. Ñëîæíîñòè ïðè ðåøåíèè ïðèâåä¼ííûõ çàäàíèé ìîãóò ñèãíàëèçèðîâàòü
î ïðîáëåìàõ â ïîíèìàíèè áàçîâûõ òåîðåòè÷åñêèõ êîíñòðóêöèé. 2 êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ óêàçàíà îòíîñèòåëüíàÿ ñëîæíîñòü çàäàíèÿ, êîòîðàÿ íîñèò âåñüìà óñëîâíûé, à èíîãäà è ÿâíî
èðîíè÷åñêèé õàðàêòåð. Ðåøàþùåìó ïðåäëàãàåòñÿ ïîäòâåðäèòü èëè îïðîâåðãíóòü ïðåäëàãàåìóþ îöåíêó.
Ä ÈÊÀÐÅ ÅÃÎÐ ÅÂÃÅÍÜÅÂÈ× E-mail:egor.dikarev@gmail.com

ÔÃÁÎÓ ÂÎ ¾ÂÃÓ¿, ôàêóëüòåò ÏÌÌ, 1 êóðñ, 3, 5 ãðóïïû, àëãåáðà, 2018-2019 ó÷åáíûé ãîä 2
b)
A B\C òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A B èA C;
c) (A \B)[ C =A\(B [C)òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà C A.
10 [1]. Äîêàçàòü òîæäåñòâà:
a) Ar B =A4 (A \B);
b) A[B = ( A4 B)[ (A \B) = ( A4 B)4 (A \B);
c) A4 (B 4 C) = ( A4 B)4 C àññîöèàòèâíîñòü ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè .
11 [1]. Ñóùåñòâóþò ëè òàêèå ìíîæåñòâà A; BèC, ÷òî A\B 6
= ?,A \C =? è(A \B)r C =??
12 [1]. Ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé:
a)
A \X =B;
A [X =C; ãäå
BA C;
b)
A r X =B;
X rA = C; ãäå
BA èA \C =?. ×åðåç
[x ]è fx g áóäåì îáîçíà÷àòü ñîîòâåòñòâåííî öåëóþ è äðîáíóþ ÷àñòè âåùåñòâåííîãî ÷èñëà x. Òàêèì îáðàçîì,
x = [ x] + fx g. Òàêæå ðàññìîòðèì ôóíêöèþ ïîë(oor ), èíà÷å íàçûâàåìóþ àíòüåèëèöåëîé ÷àñòüþ , ñòàâÿùóþ
â ñîîòâåòñòâèå âåùåñòâåííîìó ÷èñëó xíàèáîëüøåå öåëîå, íå ïðåâîñõîäÿùåå x, îáîçíà÷àåìîå bx c, à òàêæå
ôóíêöèþ ïîòîëîê(ceiling ), ñòàâÿùóþ â ñîîòâåòñòâèå âåùåñòâåííîìó ÷èñëó xíàèìåíüøåå öåëîå, íå ìåíüøåå x,
îáîçíà÷àåìîå dx e, òî åñòü bx c = max fx 2 Zjn 6 xg è dx e = min fn 2 Zjn > xg. Îïðåäåëèì òàêæå ôóíêöèþ
ðàññòîÿíèå äî áëèæàéøåãî öåëîãî , îïðåäåëÿåìóþ ôîðìóëîékx k := min fx b xc; dx e xg. Ïðè ýòîì ñàìî
òàêîå öåëîå îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç ((x)) â ñëó÷àå, êîãäà xíå ÿâëÿåòñÿ ïîëóöåëûì, òî åñòüx =2 Z+ 1 =2 . Êîíå÷íî,
óñòðàíèòü ïîñëåäíåå çàòðóäíåíèå âïîëíå âîçìîæíî. Íàïðèìåð, ìîæíî ïîëîæèòü
n+ 1 =2
=n.
13 [1]. Êàê, èñïîëüçóÿ íåêîòîðûå èç îïèñàííûõ âûøå ôóíêöèé, íàéòè êîëè÷åñòâî öèôð â íàòóðàëü-
íîì ÷èñëå n, çàïèñàííîì â ïîçèöèîííîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ ñ îñíîâàíèåì p?
14 [1]. Äîêàçàòü, ÷òî
a) dx e = b xc; ((x)) = b2 x c b xc; x = 2Z+ 1 =2; kx k =
x ((x))
; x = 2Z+ 1 =2;
k x k = min
fx g;1 f xg
= 1 2


f
x g 1 2


;
((x)) = l
x + 1 2
m
l
2x + 1 4
m
+ j
2x + 2 4
k
;
b) bx + 1 =2c = b2 x c b xc; bx c + by c + 1 >bx + yc > bx c + by c;
bx c=n
= bx=n c;
c) dx 1=2e = d2 x e d xe; dx e + dy e 16 dx + ye 6 dx e + dy e;
dx e=n
= dx=n e.
Íèêòî íå èçãîíèò íàñ èç ðàÿ, ñîçäàííîãî Êàíòîðîì. ÄÀÂÈÄ ÃÈËÜÁÅÐÒ
Ñîâðåìåííîìó ìàòåìàòèêó è íå ïðèäåò â ãîëîâó, ÷òî êàêîå-ëèáî ñîåäèíå-
íèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ñèìâîëîâ ìîæåò èìåòü ½ñìûñë äî òîãî, êàê åìó ïðè-
äàí ñìûñë ñ ïîìîùüþ îïðåäåëåíèÿ. Íî ýòî íå áûëî òðèâèàëüíîñòüþ äàæå
äëÿ íàèáîëåå âûäàþùèõñÿ ìàòåìàòèêîâ âîñåìíàäöàòîãî âåêà. Îïðåäåëåíèÿ
íå áûëè â èõ îáû÷àå; äëÿ íèõ íå áûëî åñòåñòâåííî ãîâîðèòü ½ïîä Xìû
ïîíèìàåì Y. Ñ íåêîòîðûìè îãîâîðêàìè âåðíî áóäåò ñêàçàòü, ÷òî ìàòåìà-
òèêè äî Êîøè ñïðàøèâàëè íå ½ êàê îïðåäåëèòü1 1 + 1 : : : , à ½ ÷òî
åñòü 1 1 + 1 : : : , è ýòîò ñêëàä ìûøëåíèÿ ïðèâîäèë èõ ê íåíóæíûì çà-
òðóäíåíèÿì è ñïîðàì, çà÷àñòóþ, ïî ñóùåñòâó ÷èñòî ñëîâåñíîãî õàðàêòåðà.
Ã. Õ. ÕÀÐÄÈ
Íåêîòîðûå ñâåäåíèÿ èç òåîðèè ìíîæåñòâ. Îïåðàöèè íàä ìíîæåñòâàìè. Äîïîëíèòåëüíûå çàäàíèÿ 3
A1 [2]. Êàêèå âàðèàíòû äèàãðàìì ÝéëåðàÂåííà ìîæíî ïðèâåñòè äëÿ ñëó÷àÿ òð¼õ è ÷åòûð¼õ ìíî-
æåñòâ? Èçîáðàçèòü íàèáîëåå íàãëÿäíûå ñëó÷àè. 3
Çàäàíèÿ äàííîãî ðàçäåëà ìîãóò ñèëüíî ðàçëè÷àòüñÿ ïî ñëîæíîñòè. Íåêîòîðûå èç íèõ íå òðåáóþò êàêèõ-ëèáî äîïîë-
íèòåëüíûõ çíàíèé, äðóãèå ìîãóò ÿâëÿòüñÿ ÷ðåçâû÷àéíî òðóäíûìè, à ïîðîé è íåðàçðåøèìûìè èëè îòêðûòûìè ïðîáëåìàìè.
Óñïåøíîå ðåøåíèå õîòÿ áû ÷àñòè ïðèâåä¼ííûõ çàäàíèé ìîæåò âîñïðèíèìàòüñÿ êàê äîñòàòî÷íî ïîçèòèâíîå ÿâëåíèå.
Ä ÈÊÀÐÅ ÅÃÎÐ ÅÂÃÅÍÜÅÂÈ× E-mail:egor.dikarev@gmail.com

ÔÃÁÎÓ ÂÎ ¾ÂÃÓ¿, ôàêóëüòåò ÏÌÌ, 1 êóðñ, 3, 5 ãðóïïû, àëãåáðà, 2018-2019 ó÷åáíûé ãîä 3
Ñëîæåíèåì ïî ìîäóëþ äâà
(èñêëþ÷àþùèì ¾ÈËÈ¿ ) íàçûâàþò ëîãè÷åñêóþ îïåðàöèþ, ðåçóëüòàò êîòîðîé ÿâëÿ-
åòñÿ èñòèíîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðîâíî îäèí èç îïåðàíäîâ èñòèíà (äëÿ ñëó÷àÿ áèíàðíîé îïåðàöèè).
Ñëîæåíèå ïî ìîäóëþ äâà ÷àùå âñåãî îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì èëè XOR. Ñëîæåíèå ïî ìîäóëþ äâà âîçíèêàåò
â ðàçëè÷íûõ êîíòåêñòàõ, â ñâÿçè ñ ÷åì èìååòñÿ áîëüøîå ÷èñëî íàçâàíèé è ðàçëè÷íûõ îáîçíà÷åíèé äàííîé
îïåðàöèè. ×àùå âñåãî èñïîëüçóåòñÿ èíôèêñíàÿ íîòàöèÿ, òî åñòü ôîðìà çàïèñè, ïðè êîòîðîé ñèìâîë îïåðàöèè
ïèøåòñÿ ìåæäó îïåðàíäàìè.
A2 [2]. Èñïîëüçîâàòü ñâîéñòâî àññîöèàòèâíîñòè ñëîæåíèÿ ïî ìîäóëþ äâà äëÿ äîêàçàòåëüñòâà àññî-
öèàòèâíîñòè ñèììåòðè÷åñêîé ðàçíîñòè.
A3 [2]. Êàêîâà ñâÿçü ìåæäó ìíîæåñòâàìè ðåøåíèé ñîâîêóïíîñòè 2
6
6
4
f1 _
0;
f 2 _
0

f3 _
0;
f 4 _
0 è ñèñòåìû 8
>
>
<
>
>
:
f1 _
0;
f 3 _
0

f2 _
0;
f 4 _
0 ?
Çàäà÷à äîïóñêàåò ðàçëè÷íûå ïîäõîäû ê ðåøåíèþ. Ðåêîìåíäóåòñÿ ïðîèëëþñòðèðîâàòü ðåçóëüòàò ïðè
ïîìîùè äèàãðàìì ÝéëåðàÂåííà.
A4 [2]. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ ìíîæåñòâ A
1; : : : ; A
nè
B
1; : : : ; B
nèìåþò ìåñòî òîæäåñòâà
n
\
i =1 A
i
4
n
\
i =1 B
i
n
[
i =1 (
A
i4
B
i)
è
n
[
i =1 A
i
4
n
[
i =1 B
i
n
[
i =1 (
A
i4
B
i)
:
A5 [2]. Îïðåäåëèòü îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ è ðàçíîñòè ìíîæåñòâ îïðåäåëèòü ÷åðåç:
a) ñèììåòðè÷åñêóþ ðàçíîñòü è ïåðåñå÷åíèå;
b) ñèììåòðè÷åñêóþ ðàçíîñòü è îáúåäèíåíèå;
c) ðàçíîñòü è ñèììåòðè÷åñêóþ ðàçíîñòü.
A6 [2]. Ìîæíî ëè îäíó èç îïåðàöèé îáúåäèíåíèÿ, ïåðåñå÷åíèÿ è ðàçíîñòè ìíîæåñòâ îïðåäåëèòü
÷åðåç äâå äðóãèå?
A7 [2]. Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ âûðàæåíèé äëÿ ìíîæåñòâ ìîæíî ñîñòàâèòü èç ïåðåìåííûõ AèB ñ ïî-
ìîùüþ (ìíîãîêðàòíî èñïîëüçóåìûõ) îïåðàöèé ïåðåñå÷åíèÿ, îáúåäèíåíèÿ è ðàçíîñòè? (Äâà âûðàæåíèÿ
ñ÷èòàþòñÿ îäèíàêîâûìè, åñëè îíè ðàâíû ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ.) Òîò æå âîïðîñ äëÿ òð¼õ
ìíîæåñòâ è äëÿ nìíîæåñòâ.
Óêàçàíèå . Îòâåò â îáùåì ñëó÷àå: 22
n
1
.
A8 [6], çàäà÷à î ÷èñëå ìîíîòîííûõ áóëåâûõ ôóíêöèé .Òîò æå âîïðîñ, ÷òî è â çàäàíèè A7, åñëè
èñïîëüçóþòñÿ òîëüêî îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ è ïåðåñå÷åíèÿ. Ìîùíîñòüþ
jA jêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Aíàçûâàþò ÷èñëî ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A.
A9 [2]. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ïîäìíîæåñòâ ó nýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà?
A10 [3]. Ïóñòü ìíîæåñòâî Añîäåðæèò nýëåìåíòîâ, à åãî ïîäìíîæåñòâî Bñîäåðæèò kýëåìåíòîâ.
Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâ C, äëÿ êîòîðûõ èìååò ìåñòî âêëþ÷åíèå BC A?
A11 [3]. Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáûõ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ A
1; : : : ; A
nèìååò ìåñòî
ôîðìóëà âêëþ÷åíèé
èñêëþ÷åíèé 4
:


n
[
i =1 A
i

= n
X
i =1 j
A
ij X
1 6 i